문제 #16641

Question

상태 방정식이 다음과 같은 계의 천이행렬 \Phi(t) 는 어떻게 표시되는가? \dot{x}(t) = Ax(t)+Bu

Accepted Answer

이 문제는 선형 시불변(LTI) 시스템의 상태 방정식에서 천이행렬을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 라플라스 변환을 이용하여 미분 방정식을 대수 방정식으로 변환하고, 이를 통해 시스템의 응답을 나타내는 천이행렬을 구하는 것입니다. 정답은 2번 \pounds^{-1}[(sI-A)^{-1}] 입니다. 상태 방정식 $\dot{x}(t) = Ax(t)$ (입력 $Bu$가 없는 경우)를 라플라스 변환하면 $sX(s) - x(0) = AX(s)$가 됩니다. 이를 $X(s)$에 대해 정리하면 $X(s) = (sI-A)^{-1}x(0)$가 됩니다. 여기서 $(sI-A)^{-1}$이 바로 천이행렬의 라플라스 역변환이며, 이것이 시스템의 상태 $x(t)$를 초기 상태 $x(0)$로부터 결정하는 역할을 합니다. 따라서 천이행렬 $\Phi(t)$는 $(sI-A)^{-1}$의 라플라스 역변환으로 표현됩니다.

문제 1