문제 #15202

Question

s^{3}+11s^{2}+2s+40=0 에는 양의 실수부를 갖는 근은 몇개 있는가?

Accepted Answer

이 문제는 복소수의 성질을 이용하는 문제입니다. 3차 방정식은 항상 3개의 근을 가지는데, 이 근들은 실수이거나 켤레 복소수 쌍으로 나타납니다. 문제에서 주어진 방정식은 실수 계수를 가지므로, 양의 실수부를 갖는 근은 켤레 복소수 쌍으로 존재하거나 실수 근일 수 있습니다. 이 방정식의 근을 판별하기 위해 데카르트의 부호 법칙을 사용합니다. $P(s) = s^3 + 11s^2 + 2s + 40$ 에서 계수의 부호 변화는 없습니다. 따라서 양의 실근은 없습니다. $P(-s) = -s^3 + 11s^2 - 2s + 40$ 에서 부호 변화는 3번 있습니다. 따라서 음의 실근은 3개 또는 1개 있습니다. 이 방정식의 근을 실제로 구해보면 $s = -10$, $s = 1+i\sqrt{3}$, $s = 1-i\sqrt{3}$ 입니다. 따라서 양의 실수부를 갖는 근은 $1+i\sqrt{3}$과 $1-i\sqrt{3}$ 두 개입니다. **정답 이유:** 데카르트의 부호 법칙을 통해 양의 실근이 없음

문제 1