동전 세 번을 담은 카드

작은 종이 여덟 장을 준비해볼까요. 각 종이에 빈칸 세 개를 그리고 ‘첫째, 둘째, 셋째’라고 적습니다. 동전을 세 번 던졌을 때 나올 수 있는 순서를 한 장에 하나씩 넣을 거예요. 아래 빈 카드 그림을 보며 종이에 옮겨 만들어도 됩니다.

여기서 만들 카드는 실제로 던져 얻은 결과를 모은 것이 아닙니다. 가능한 결과를 빠짐없이 적는 목록이에요. 이런 결과 전체를 확률에서 표본공간이라고 부릅니다. 가능한 결과를 나열하거나 가지 그림으로 나타낼 수 있습니다.¹

먼저 첫째 칸을 나눕니다. 카드 네 장에는 ‘앞’, 나머지 네 장에는 ‘뒤’를 적으세요. 이것만으로 동전을 네 번씩 던졌다는 뜻은 아니에요. 첫째가 앞인 순서들을 만들 자리와 뒤인 순서들을 만들 자리를 나눈 것입니다.

첫째 칸이 ‘앞’인 네 장을 가져옵니다. 둘째 칸에 ‘앞’을 넣은 카드 두 장, ‘뒤’를 넣은 카드 두 장으로 나누세요. 그러면 ‘앞앞’ 두 장과 ‘앞뒤’ 두 장이 됩니다. 각각의 쌍에서 셋째 칸을 ‘앞’과 ‘뒤’로 하나씩 채우면 서로 다른 네 순서가 완성됩니다.

첫째 칸이 ‘뒤’인 네 장에도 같은 일을 합니다. 둘째 칸으로 둘씩 나누고, 마지막 칸에 앞과 뒤를 하나씩 넣으세요. 중복된 카드가 없는지, 앞의 두 칸이 같은 카드마다 마지막 칸은 서로 다른지 확인해봅니다.

이제 ‘앞’이 정확히 두 번 적힌 카드를 고릅니다. 세 번 모두 앞인 카드는 내려놓으세요. ‘적어도 두 번’이 아니라 ‘정확히 두 번’을 찾고 있습니다. 고른 카드가 서로 같은 순서를 적은 것은 아닌지도 살펴보세요. 앞앞뒤와 앞뒤앞은 앞면 횟수는 같지만, 셋째 결과가 다른 별개의 순서입니다. 순서를 구별하는 동전 표본공간의 방식이에요.²

공정한 동전을 던지고, 각 던지기가 서로 독립이라고 가정하겠습니다. 이때 특정한 세 칸짜리 순서가 나올 확률은 1/2×1/2×1/2=1/8로 모두 같습니다. 독립 시행의 확률을 곱하는 원리와, 결과가 같은 확률일 때 개수를 세어 계산하는 원리를 사용한 것입니다.³¹ 따라서 선택한 세 장에 해당하는 확률은 3/8입니다. 카드 그림과 분수는 이 가정 아래에서 만든 자체 계산 예제예요.

카드를 네 묶음으로 옮겨봅니다

만든 카드를 앞면 횟수에 따라 0번, 1번, 2번, 3번 자리로 옮기세요. 각 자리에는 차례대로 한 장, 세 장, 세 장, 한 장이 놓입니다. 0번 자리의 뒤뒤뒤는 한 순서뿐이지만, 1번 자리는 앞뒤뒤·뒤앞뒤·뒤뒤앞을 모두 받아야 합니다.

이제 기록 용지를 바꿔 앞면 횟수만 적는다면 가능한 숫자는 0, 1, 2, 3입니다. 이 네 숫자로 결과를 요약하는 것도 가능합니다. 다만 각 숫자가 같은 확률로 나타나는 것은 아니에요. 앞면 횟수 2는 순서 세 개를 한데 모은 이름이므로 확률도 3/8을 받습니다. 숫자가 네 개라고 각각 1/4을 주면, 지금 만든 카드의 묶음 크기가 사라집니다.¹

카드를 다시 모아 뒤집어 놓고, 각 카드가 같은 확률로 뽑힌다고 가정해 한 장을 뽑아봅시다. 뽑은 카드의 세 칸을 읽으면 동전 세 번의 한 결과가 되고, ‘앞’의 수만 읽으면 앞면 횟수가 됩니다. 같은 카드에서 두 가지 기록을 얻을 수 있어요. 다시 뽑을 때마다 카드를 돌려놓더라도, 여덟 번 뽑아 여덟 종류를 꼭 한 번씩 보게 되는 것은 아닙니다. 이 카드들은 관측 횟수를 약속하는 표가 아니라, 어떤 순서들이 가능한지 펼쳐놓은 한 벌입니다.¹