넓이 단위 변환, 1cm² 안의 작은 칸부터 세어보기

한 변이 1cm인 정사각형 안에 한 변이 1mm인 작은 정사각형을 채워볼게요. 1cm는 10mm이므로 가로에 작은 칸이 10개 들어갑니다.¹ 세로에도 같은 수가 들어가요.

아래는 그 관계를 그린 자체 모눈 예시입니다. 화면에 보이는 크기는 실제 길이를 재는 자가 아니에요. 작은 칸의 개수와 가로·세로의 관계를 봅니다.

한 줄에 10칸, 그런 줄이 10줄이니 작은 정사각형은 100개입니다. 작은 칸의 넓이는 1mm²이고, 전체는 100mm²입니다. 한 변 1cm인 원래 정사각형의 넓이 1cm²와 같아요. NIST의 넓이 단위 표도 100mm²=1cm²로 제시합니다.²

가로의 10칸만 세면 맨 윗줄만 센 셈입니다. 아래에 같은 줄이 더 있어 전체는 10×10칸이에요. 길이를 적는 숫자가 달라진 비율이 넓이에서는 가로·세로에 각각 적용됐습니다.

반으로 잘라 옆에 붙여봅니다

그림의 위쪽과 아래쪽을 가르는 선을 따라 잘라서, 아래 절반을 위 절반의 오른쪽에 붙인다고 해볼게요. 칸을 겹치거나 버리지 않는 자체 재배열 예시입니다.

새 도형의 가로는 20mm, 세로는 5mm입니다. 20×5=100이므로 여전히 100mm²예요. 바뀐 것은 모양과 가로·세로 길이의 조합이고, 칸을 모두 보존했으므로 넓이는 같습니다.

넓이가 1cm²라는 말을 보고 도형이 반드시 한 변 1cm인 정사각형이라고 판단할 필요는 없어요. 그 정사각형은 단위 넓이를 떠올리는 기준이고, 같은 넓이의 직사각형도 만들 수 있습니다.² 예시의 직사각형은 가로 2cm, 세로 0.5cm로 적어도 넓이가 1cm²예요.

2cm와 5mm를 곱할 때

같은 직사각형을 가로 2cm, 세로 5mm라고 제시하면 단위가 섞입니다. 숫자만 곱해 10cm²라고 쓰면 앞에서 센 100칸과 맞지 않아요. 같은 100칸짜리 직사각형을 mm로도, cm로도 계산해볼게요.

가로를 mm로: 2cm = 20mm
넓이: 20mm × 5mm = 100mm²

세로를 cm로: 5mm = 0.5cm
넓이: 2cm × 0.5cm = 1cm²

어느 쪽 길이를 바꾸어도 같은 넓이에 도착합니다. 곱셈을 먼저 적는다면 원래 단위도 함께 남겨야 해요. 2cm×5mm의 곱은 수치상 10이지만 그 단위는 cm·mm입니다. 이것을 곧바로 cm²로 바꾸는 단계를 생략한 것이 앞의 10cm²와 달라지는 지점입니다.

cm²는 접두어 c를 떼어 숫자 100분의 1에 한 번만 적용하는 표기가 아닙니다. cm라는 단위 전체를 제곱한 것이에요. NIST의 SI 설명도 접두어와 단위 기호가 결합한 전체를 하나의 단위로 보고 거듭제곱할 수 있다고 설명합니다.³ cm와 mm를 같은 길이 단위로 고친 뒤 곱하면 그 뜻이 식에도 남습니다.

cm²에서 m²로 옮기기

cm와 m에서는 길이 관계가 다시 달라집니다. centi는 100분의 1을 뜻하므로 1cm=0.01m, 1m=100cm입니다.³ 이를 가로·세로에 적용하면 다음처럼 됩니다.

1cm² = (0.01m) × (0.01m) = 0.0001m²
1m² = (100cm) × (100cm) = 10,000cm²

cm²를 m²로 쓸 때 수치가 작아지는 것은 더 큰 단위 넓이로 같은 면적을 세기 때문입니다. 예를 들어 직접 만든 연습값 2500cm²를 m²로 쓰면 2500÷10,000=0.25m²입니다. 100으로 한 번만 나눈 25m²는 이 연습값을 환산한 넓이가 아닙니다. 앞의 1m² 안에 10,000cm²가 들어간다는 관계를 적용해야 해요.

이 연습값을 한 변 50cm인 정사각형으로도 만들어볼 수 있습니다. 넓이는 50cm×50cm=2500cm²예요. 두 변을 m로 고치면 0.5m×0.5m=0.25m²가 됩니다. 면적 수치에 환산 비율을 적용한 풀이와 변의 길이부터 바꾼 풀이가 같은 도형의 넓이를 가리킵니다.