평균 8분과 중앙값 4분은 같은 대기시간을 설명합니다

한 사람이 오래 기다렸습니다. 그 값이 평균을 올리지만 다른 사람들의 대기시간을 바꾼 것은 아니에요. 평균 8분과 중앙값 4분이 함께 나와도 계산이 충돌하는 것이 아닙니다.

대기시간을 2분, 3분, 4분, 5분, 26분으로 둔 자료를 보겠습니다. 실제 기관 조사값이 아니라 대푯값을 비교하기 위한 자료입니다.

전체 대기시간 = 2 + 3 + 4 + 5 + 26 = 40분
평균 = 40 ÷ 5 = 8분
중앙값 = 정렬한 가운데 값 = 4분

산술평균은 합계를 관측 수로 나누고, 중앙값은 크기순으로 정렬한 가운데를 사용합니다.¹ 뒤의 26분이 평균에는 크게 기여했지만 가운데 순서의 값은 4분으로 남았어요.

26분을 6분으로 바꾸어봅니다

자료가 2, 3, 4, 5, 6이면 합계는 20분, 평균은 4분입니다. 중앙값 역시 4분이에요. 마지막 값 하나를 26으로 바꾸면서 평균은 4분에서 8분으로 올라갔지만 중앙값은 움직이지 않았습니다.

이 예제에서 중앙값이 유지된 것은 가운데 순서가 그대로였기 때문입니다. 숫자 26이 36으로 더 커져도 중앙값은 4분입니다. 중앙값을 구할 때 끝의 값 자체를 합하지는 않아요.

NIST의 통계 안내도 극단값이 있는 자료에서 평균과 중앙값의 위치 요약이 달라질 수 있음을 설명합니다. 중앙값은 값의 순위에 기반하므로 꼬리의 큰 값에 평균처럼 영향을 받지 않습니다.²

그렇다고 중앙값이 어떤 자료 변화에도 고정된다는 뜻은 아닙니다. 여러 관측값을 바꿔 가운데 순서의 값이 달라지면 중앙값도 움직입니다. 예를 들어 앞의 2, 3, 4를 각각 12, 13, 14로 바꾸면 정렬한 자료는 5, 12, 13, 14, 26입니다. 이번 중앙값은 13분이에요.

큰 값에 덜 민감하다는 성질과 자료의 변화를 전혀 반영하지 않는다는 말은 달랐습니다.

총시간을 묻는 질문에는 평균이 이어집니다

앞의 다섯 사람 자료에서 평균 8분에 사람 수를 곱하면 40분을 되찾습니다. 각 사람이 기다린 시간을 합친 총부담과 연결돼요.

중앙값 4분에 5를 곱한 20분은 원자료의 합계가 아닙니다. 중앙값은 총합을 같은 크기의 몫으로 나눈 값이 아니었으니까요. 전체 시간을 계산해야 하는데 ‘대표적인 사람은 4분 기다렸다’는 설명만 넣으면 긴 대기의 기여가 빠집니다.

반대로 가운데 순서의 대기시간을 묻는다면 중앙값 4분이 답입니다. 평균 8분을 보고 실제로 모두 8분쯤 기다렸다고 말하면 관측값의 분포를 잃어요. 이 자료에서 8분을 기다린 사람은 없습니다.

대푯값은 관측된 값과 같지 않아도 됩니다. 같은 이유로 짝수 자료의 중앙값도 실제 관측값에 없을 수 있어요. 2, 3, 4, 26의 중앙값은 가운데 두 값인 3과 4의 평균, 3.5분입니다.¹

가운데에 놓인 ‘몇 번째’라는 위치와 그 위치에서 얻은 ‘몇 분’이라는 값도 구별해야 해요. 관측 수가 달라지면 가운데 위치가 달라지지만 그것을 그대로 대기시간 숫자로 쓸 수는 없습니다.

긴 대기를 지우면 무엇을 설명하는 자료가 될까요?

26분이 입력 오류라면 확인해 고칠 수 있습니다. 실제 긴 대기였다면 큰 값이라는 이유만으로 지운 뒤 원래 전체의 평균이라고 쓰지는 않습니다.

26분을 빼면 남은 2, 3, 4, 5의 평균은 3.5분입니다. 원래 자료의 평균 8분과 크게 달라져요. 제외 기준이 있는 별도의 집단을 요약한 것인지, 전체 자료를 수정한 것인지 밝혀야 같은 숫자 이름으로 혼동하지 않습니다.

긴 대기가 생긴 이유를 보는 일도 남습니다. 특정 시간대에 몰렸는지, 다른 종류의 처리가 필요했는지에 따라 관측을 나누어 볼 이유가 있을 수 있어요. 다만 이유를 조사하지 않은 예제에서 ‘오류였을 것’이라고 정해버릴 수는 없습니다.

중앙값을 제시한다고 긴 대기 26분이 없어지는 것도 아닙니다. 가운데를 설명하는 4분과 긴 꼬리의 존재를 함께 보여줄 수 있어요. 대푯값을 고르는 판단과 큰 관측값을 제외하는 판단을 같은 것으로 처리하지 않는 편이 낫습니다.