로그방정식에서 −1을 답으로 쓰지 못하는 이유

log₂(x − 1) + log₂(x − 3) = 3
log₂((x − 1)(x − 3)) = 3
(x − 1)(x − 3) = 8
(x − 5)(x + 1) = 0
∴ x = 5 또는 x = −1

전개와 인수분해는 맞습니다. 그래도 맨 아래를 로그방정식의 답으로 제출하면 −1이 문제예요.

x = −1일 때 두 진수는 −2와 −4입니다. 두 값을 곱하면 8이지만 각각의 실수 로그는 정의되지 않습니다. 합쳐 쓴 식에서 곱만 양수인지 보면, 원래 식에는 없던 범위를 받아들일 수 있어요.¹

이 풀이에서 고칠 곳은 마지막 계산보다 두 로그를 합치는 줄입니다.

첫 줄의 범위를 둘째 줄에도 붙입니다

실수 로그는 진수가 양수일 때 정의됩니다. 밑은 양수이면서 1이 아니어야 해요.² 위 문제의 밑 2는 이 조건에 맞습니다. 남은 것은 두 진수입니다.

x − 1 > 0
x − 3 > 0
두 조건을 함께 만족: x > 3

따라서 두 로그를 합칠 때도 x > 3 안에서 계산합니다. 이 조건을 지킨 범위에서는 합과 곱의 로그 관계를 사용할 수 있어요. x = −1을 나중에 넣어 확인하면 탈락하고, x = 5만 남습니다.

x = 5:
log₂4 + log₂2 = 2 + 1 = 3

x = −1:
log₂(−2) + log₂(−4)
실수 범위에서 원래식이 정의되지 않음

−1은 ‘계산을 틀려서 생긴 답’이 아니었습니다. 곱을 푸는 이차방정식의 해로는 맞아요. 처음 로그식의 정의역에 속하지 않는 후보였던 것입니다. OpenStax의 로그방정식 풀이도 얻은 해가 원래 로그를 정의하는지 확인하는 과정을 둡니다.³

반대로 정의역 안에 있는 후보가 하나 남았다는 이유만으로 대입을 생략할 필요는 없습니다. 전개에서 다른 계산 오류가 있었다면 허용 범위 안의 잘못된 값도 남을 수 있어요. 범위 확인과 등식 확인은 각각 맡는 일이 다릅니다.

log(x²)를 2log(x)로 쓸 때도 같은 문제가 생겨요

이번에는 방정식의 해가 아니라 표현식의 범위가 달라지는 예입니다. 밑은 유효한 같은 값으로 고정하고 실수 범위를 놓겠습니다.

x²는 x가 영이 아니면 양수입니다. 그래서 log(x²)는 음수 x에서도 정의될 수 있어요. 그런데 2log(x)는 x가 양수여야 정의됩니다. 예를 들어 x = −2라면 왼쪽의 진수는 4지만 오른쪽은 음수의 로그를 포함합니다.

로그의 거듭제곱 관계를 배울 때 바탕이 되는 진수의 양수 조건을 같이 읽어야 합니다.¹ 원래 범위 x ≠ 0을 유지해 쓰려면 log(x²) = 2log|x|로 적을 수 있어요. |x|는 그 범위에서 양수이기 때문입니다.

모양이 익숙한 변형식이 더 좁거나 더 넓은 정의역을 가질 수 있다는 사례예요. 식을 간단히 만들었다는 사실만으로 원래식과 같은 범위를 유지했다고 말할 수는 없습니다.

‘로그가 음수’와 ‘음수의 로그’를 구별합니다

로그값이 음수인 것은 가능합니다. 밑이 2일 때 진수 1/2의 로그값은 −1입니다. 2를 −1제곱하면 1/2이 되는 관계죠.²

여기서는 진수 1/2가 양수이고 계산 결과가 음수입니다. 처음 문제의 탈락 후보 −1에서는 진수 자체가 음수였어요. 이름만 보고 ‘음수가 보이면 버린다’고 하면 정상적인 로그값도 버릴 수 있습니다.

다른 방정식 log₂(x − 1) = log₂(5 − x)를 풀면 조건은 1 < x < 5입니다. 양의 두 진수끼리 같게 놓아 x − 1 = 5 − x를 얻고 x = 3이 나옵니다. 양쪽 진수는 모두 2이므로 원래식도 성립합니다. 계산에 앞서 적은 구간이 이번에는 후보를 버리지 않고 해가 놓일 자리를 보여줬어요.

밑에 문자까지 있으면 진수 조건만으로 끝나지 않습니다. 밑의 양수 조건과 1이 아니라는 조건도 남겨야 해요. 다만 처음 풀이의 잘못은 밑에 있지 않았습니다. 두 진수가 따로 양수여야 한다는 조건을 곱 하나의 조건으로 바꿔 읽은 것이었습니다.