상승 중인 체중계의 변화

엘리베이터가 출발해서 위로 올라간 뒤 위층에 멈춥니다. 방향을 바꿔 아래로 내려오는 구간은 없어요. 그런데 체중계를 누르는 힘은 평소보다 커졌다가, 같아졌다가, 도착 직전에는 작아질 수 있습니다.¹ 그 과정을 한 번의 운행으로 그려볼게요.

질량 50kg인 승객이 바닥 위에서 몸을 움직이지 않고 함께 이동하는 자체 계산 모형을 만들었습니다. 위쪽을 양의 방향으로 정하고, 처음 2초는 가속도 +1m/s²로 출발합니다. 그다음 4초는 2m/s의 일정한 속도로 상승하고, 마지막 2초는 가속도 −1m/s²로 느려져 멈춥니다. 중력가속도는 이 짧은 모형에서 9.8m/s²로 일정하게 둡니다. 실제 엘리베이터나 체중계에서 측정한 데이터는 아니에요.

그래프 아래쪽에는 체중계가 사람을 위로 미는 힘 F를 그렸습니다. 사람이 체중계를 아래로 누르는 힘은 이 힘과 크기가 같습니다.¹ 여기서는 실제 기기의 kg 표시를 재현하는 대신, 힘 자체를 N으로 표시합니다. kg은 질량, N은 힘의 SI 단위입니다.²

두 그래프를 같은 시간에 맞춰 읽습니다. 6초가 지난 뒤 파란 속도선은 아래로 기울지만, 8초에 도착할 때까지 영보다 위에 있어요. 승객은 여전히 위로 가고 있습니다. 다만 위로 가는 속도가 줄어들므로 가속도는 아래쪽이에요. 같은 구간의 힘 F는 평소의 490N보다 작은 440N으로 그려집니다.

6초와 8초 사이에는 ‘위로 이동한다’와 ‘아래로 가속한다’가 동시에 성립합니다. ‘올라간다’는 말은 그때의 속도 방향을 알려주고, 체중계 힘을 계산하는 식에는 가속도가 들어가기 때문입니다.¹ 두 정보를 하나로 뭉쳐 ‘상승이면 항상 힘이 큼’으로 바꾸면, 도착 직전 구간이 설명되지 않아요.

위쪽 힘에서 중력을 뺍니다

계산할 대상은 승객입니다. 승객을 위로 미는 체중계의 힘 F와 아래로 당기는 중력 mg를 남겨보세요. 위쪽을 양으로 정했으므로 두 힘의 합은 F−mg입니다. 뉴턴의 운동법칙을 적용하면 다음 식이 됩니다.¹

F − mg = ma
F = m(g + a)

이때 a는 방향의 부호를 포함합니다. 위로 가속하면 양수, 아래로 가속하면 음수예요. OpenStax의 엘리베이터 풀이도 사람에게 작용하는 지지력과 중력으로 같은 관계를 세웁니다.¹ 여기서 질량 50kg과 중력가속도 9.8m/s²를 넣으면 다음과 같습니다.

출발하며 빨라질 때: 50×(9.8+1) = 540N
일정한 속도로 갈 때: 50×(9.8+0) = 490N
도착 전 느려질 때: 50×(9.8−1) = 440N

출발할 때는 위로 미는 540N이 중력 490N보다 큽니다. 두 힘의 차이 50N을 질량 50kg으로 나누면, 처음 정한 위쪽 가속도 1m/s²가 됩니다. 2초와 6초 사이에는 힘 F와 중력이 각각 490N이라 합력이 영이고, 가속도도 0입니다. 그렇다고 이미 얻은 위쪽 속도가 사라지는 것은 아니어서 2m/s로 계속 올라갑니다.

마지막에는 위로 미는 힘이 440N, 아래로 당기는 힘이 490N입니다. 합력이 아래쪽 50N이 되어, 위로 가던 속도가 줄어들어요. 중력이 갑자기 커져서 그런 것은 아닙니다. 이 모형에서 중력 mg는 처음부터 끝까지 490N으로 두었습니다. 중력힘 mg와 바닥이 지지하는 힘을 구별해야 하며, 질량도 계속 50kg입니다.³

가속도를 구간마다 곧바로 바꾼 모형이라 힘 그래프도 계단처럼 변합니다. 실제 기기의 표시 지연이나 엘리베이터 진동을 그린 것은 아니에요. 승객이 뛰거나 몸을 움직이지 않고 바닥과 함께 가속한다는 조건으로만 계산했습니다.

8초 뒤 엘리베이터가 정지 상태를 유지하면 가속도는 다시 영입니다. 속도는 0인 채로 남고, 힘 F는 490N으로 돌아옵니다. 마지막 감속 구간의 440N에서 올라오는 변화는 하강 운행이 시작돼서가 아니에요. 위로 가던 운행을 끝내고, 사람을 더 가속시키지 않는 정지 상태로 넘어간 결과입니다.