문제 #9774

Question

유선 위 한 점의 x, y, z 축에 대한 좌표를 (x, y, z), x, y, z 축 방향 속도성분을 각각 u, v, w 라 할 때 서로의 관계가 \frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w},u=-ky, v=kx, w=0 인 흐름에서 유선의 형태는? (단, k 는 상수)

Accepted Answer

주어진 흐름에서 속도 성분은 $u=-ky$, $v=kx$, $w=0$입니다. 유선의 방정식은 $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}=\frac{dz}{w}$로 표현됩니다. $w=0$이므로 $dz=0$이고, 이는 유선이 $z$축에 수직인 평면 상에 존재함을 의미합니다. $\frac{dx}{u}=\frac{dy}{v}$에 속도 성분을 대입하면 $\frac{dx}{-ky}=\frac{dy}{kx}$가 됩니다. 이 식을 정리하면 $kxdx+kydy=0$이 되고, 이를 적분하면 $\frac{1}{2}kx^2+\frac{1}{2}ky^2=C$ (상수)가 됩니다. 이는 $x^2+y^2 = \frac{2C}{k}$ 형태로, 원의 방정식을 나타냅니다. 따라서 유선의 형태는 원입니다.

문제 1