문제 #3248

Question

지름이 D인 원목을 직사각형 단면으로 제재하고자 한다. 휨모멘트에 대한 저항을 크게 하기 위해 최대 단면계수를 갖는 직사각형 단면을 얻기 위한 \frac{b}{h} 는?

Accepted Answer

**정답 이유:** 직사각형 단면의 단면계수 $Z$는 $\frac{bh^2}{6}$으로 표현됩니다. 원목의 지름 $D$는 직사각형 단면의 대각선 길이에 해당하므로, 피타고라스 정리에 의해 $b^2 + h^2 = D^2$이 성립합니다. 이 관계를 이용하여 단면계수 $Z$를 $b$ 또는 $h$에 대한 함수로 나타내고 미분하여 최대값을 찾으면, 최대 단면계수를 갖는 직사각형 단면의 비는 $\frac{b}{h} = \frac{1}{\sqrt{2}}$임을 알 수 있습니다. **핵심 개념:** * **단면계수 (Section Modulus):** 단면의 형상과 크기에 따라 휨모멘트에 저항하는 능력을 나타내는 값입니다. 단면계수가 클수록 휨에 더 잘 견딥니다. * **최적화 (Optimization):** 주어진 제약 조건 하에서 특정 값을 최대화하거나 최소화하는 과정입니다. 여기서는 원목이라는 제약 조건 하에서 단면계수를 최대화하는 직사각형 단면의 비율을 찾는 문제입니다.

문제 1