문제 #18745

Question

F(z) = \frac{(1-e^{-aT})z}{(z-1)(z-e^{-aT})} 의 역 z 변환은?

Accepted Answer

이 문제는 주어진 함수 $F(z)$의 역 z 변환을 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 부분 분수 전개와 기본적인 z 변환 쌍의 활용입니다. $F(z)$를 부분 분수로 분해하면 $\frac{A}{z-1} + \frac{B}{z-e^{-aT}}$ 형태로 나타낼 수 있습니다. 각 항의 역 z 변환은 $A u[n] + B (e^{-aT})^n u[n]$이 됩니다. 여기서 $u[n]$은 단위 계단 함수입니다. 계산 결과 A=1, B=-1이 나오므로, 역 z 변환은 $u[n] - (e^{-aT})^n u[n] = (1 - e^{-aT}) u[n]$이 됩니다. 문제에서 $t$는 연속 시간 변수이지만, z 변환은 이산 시간 시스템을 다루므로 $t$ 대신 $n$으로 생각하는 것이 일반적이며, 결과적으로 $1 - e^{-at}$가 됩니다.

문제 1