문제 #18186

Question

상태방정식 \dot{x}(t)=Ax(t) 으로 표시되는 제어계가 있다. 이 방정식의 값은 어떻게 되는가? (단, x(0) 는 초기상태 벡터이다)

Accepted Answer

이 문제는 선형 상수 계수 상미분 방정식의 해를 구하는 문제입니다. 핵심 개념은 **행렬 지수 함수(Matrix Exponential)**입니다. 상태방정식 $\dot{x}(t) = Ax(t)$는 미분 연산자에 대한 1차 선형 상미분 방정식과 유사하며, 그 해는 $e^{At}x(0)$으로 주어집니다. 여기서 $e^{At}$는 행렬 $At$의 지수 함수로, 마치 스칼라 미분 방정식 $\dot{x}(t) = ax(t)$의 해가 $e^{at}x(0)$인 것과 같은 역할을 합니다. 따라서 초기 상태 $x(0)$에 행렬 지수 함수 $e^{At}$를 곱하면 시간 $t$에서의 상태 $x(t)$를 얻을 수 있습니다.

문제 1