문제 #17882

Question

f(t)=te^{-3t} 일 때 라플라스 변환은?

Accepted Answer

주어진 함수 $f(t) = te^{-3t}$의 라플라스 변환을 구하는 문제입니다. 라플라스 변환의 기본 성질 중 하나인 $t^n f(t)$의 변환 공식 $L\{t^n f(t)\} = (-1)^n \frac{d^n}{ds^n} F(s)$를 이용합니다. 여기서 $F(s)$는 $f(t)$의 라플라스 변환입니다. 함수 $f(t) = te^{-3t}$는 $t$와 $e^{-3t}$의 곱으로 볼 수 있습니다. $e^{-3t}$의 라플라스 변환은 $L\{e^{-at}\} = \frac{1}{s+a}$이므로, $L\{e^{-3t}\} = \frac{1}{s+3}$입니다. 이제 $t$를 곱한 경우를 생각해보면, $n=1$일 때의 공식 $L\{tf(t)\} = -\frac{d}{ds} F(s)$를 적용할 수 있습니다. 따라서 $L\{te^{-3t}\} = -\frac{d}{ds} \left(\frac{1}{s+3}\right)$가 됩니다. 미분을 계산하면 $-\frac{d}{ds} (s+3)^{-1}

문제 1