문제 #17589

Question

f(t)=te^{-3t} 일 때, 라플라스 변환은?

Accepted Answer

주어진 함수 $f(t) = te^{-3t}$의 라플라스 변환을 구하는 문제입니다. 이 문제는 라플라스 변환의 기본 성질 중 하나인 **주파수 이동(Frequency Shifting)** 성질을 활용합니다. 핵심 개념은 다음과 같습니다: * **기본 라플라스 변환:** $L\{t^n\} = \frac{n!}{s^{n+1}}$ 입니다. 따라서 $L\{t\} = \frac{1!}{s^{1+1}} = \frac{1}{s^2}$ 입니다. * **주파수 이동 성질:** $L\{e^{at}f(t)\} = F(s-a)$ 입니다. 여기서 $F(s) = L\{f(t)\}$ 입니다. 문제에서 $f(t) = te^{-3t}$이므로, $a = -3$이고 $g(t) = t$라고 볼 수 있습니다. $L\{g(t)\} = L\{t\} = \frac{1}{s^2}$ 이므로, 주파수 이동 성질을 적용하면 다음과 같습니다. $L\{te^{-3t}\} = L\{e^{-3t} \cdot t\} = F(s - (-3))

문제 1