문제 #15299

Question

\frac{d^{2}}{dt^{2}}c(t) + 5\frac{d}{dt}c(t)+4c(t) = r(t) 와 같은 함수를 상태함수로 변환 하였다. 벡터 A, B의 값으로 적당한 것은? \frac{d}{dt}X(t) = AX(t)+Br(t)

Accepted Answer

주어진 2계 선형 미분방정식을 상태 공간 방정식으로 변환하는 문제입니다. 핵심 개념은 **상태 변수 정의**와 **행렬 형태로의 표현**입니다. 먼저 $c(t)$와 그 도함수를 상태 변수로 정의합니다. 예를 들어, $x_1(t) = c(t)$와 $x_2(t) = \frac{d}{dt}c(t)$라고 두면, $\frac{d}{dt}x_1(t) = x_2(t)$가 됩니다. 원래 미분방정식에서 $\frac{d^2}{dt^2}c(t)$를 $x_1, x_2$로 표현하면 $-4c(t) - 5\frac{d}{dt}c(t) + r(t) = -4x_1(t) - 5x_2(t) + r(t)$가 됩니다. 이를 행렬 형태로 나타내면 $\frac{d}{dt}X(t) = AX(t) + Br(t)$ 형태가 되며, 이때 A와 B는 각각 $\begin{bmatrix} 0&1 \ -4&-5 \end{bmatrix}$와 $\begin{bmatrix} 0\ 1 \end{bmatrix}$가 됩니다.

문제 1